打人者可以要求被害人做司法鉴定吗

可以。
根据公安部《公安机关办理伤害案件规定》第十八条：
公安机关受理伤害案件后，应当在24小时内开具伤情鉴定委托书，告知被害人到指定的鉴定机构进行伤情鉴定。